Решить матричную игру графическим способом

А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики решить матричную игру графическим способом английскому. Матузко Запорожье 2009 Ведение Раздел 1. Основные понятия и структура исследования операций Раздел 2. Принятие решения в условиях риска 2. Принятие решения в условиях неопределенности 3. Принятие решения в условиях противодействия 4. Принятие решения в условиях нескольких критериев выбора40 5. Принятие корпоративных решений 6. Критерии модульного оценивания знаний Раздел 8. Задания для самостоятельной работы студентов 8. Такой специалист по окончании учебы должен уметь выдать заказчику законченный программно-алгоритмический продукт, который будет автоматизировать процесс принятия решений в конкретном технологическом процессе, описанном заказчиком. Заказчик в таких случаях может представлять различные отрасли народного хозяйства: он может быть химиком, металлургом, строителем, экономистом, электронщиком и т. Главное, чтобы его технологический процесс, в котором нужно принимать решения, был успешно автоматизирован. Предлагаемый курс дает теоретические и практические основы математически обоснованного процесса принятия решений. Рассматриваемые в данном пособии задачи носят чисто абстрактный характер по своему текстовому условию. Главное в них — это количественные и качественные методы решения поставленной проблемы принятия решений, которые могут быть применены к различным отраслям. В пособии охвачена лишь общая решить матричную игру графическим способом дисциплины "Принятие решений". Дело в том, что предмет "Теория принятия решений" читается студентам на протяжении всего двух календарных месяцев. Автор по возможности попытался за столь короткий срок охватить наиболее общие и значимые понятия и методы довольно широкой дисциплины "Принятие решений". Более детальную информацию по дисциплине можно получить из специальной литературы, указанной в пособии. Данное учебное пособие содержит критерии модульного оценивания знаний, задания домашней контрольной работы, вопросы к модульным тестированиям, а также контрольные вопросы к экзамену по предмету "Теория принятия решений". Принимать решения, как отдельному человеку, так и различным группам людей, вплоть до всего человечества приходится практически во всех областях своей деятельности. Единственное, чего мы не выбираем, следуя народной мудрости, так решить матричную игру графическим способом родителей и Родины. Причем в некоторых областях военных, медицинских, космических, в атомной энергетике, химической промышленности и др. В силу этого появилась необходимость выделить процесс принятия оптимальных решений в отдельную область науки, которая бы формализовала и систематизировала данный процесс. Исторически считается, что это произошло в начале 40-х годов ХХ века, когда группа английских ученых математически сформулировала и нашла решение задачи об оптимальном способе доставки на фронт войск, оружия и снаряжения. И сразу же стали интенсивно поступать заказы на решение новых военных задач. Позднее эти исследования были перенесены и на гражданскую сферу и обобщены в отдельную науку — исследование операций. Исследование операций стала основным научным инструментом при принятии оптимальных решений в самых разнообразных областях человеческой деятельности. Специалиста в этой науке в литературе обычно называют аналитиком или системным аналитиком, или лицом, принимающим решение далее ЛПР. Дадим некоторые основные определения и обозначим ориентировочное структурное строение исследования операций. Даная структура также отражает этапы, которые должен последовательно пройти ЛПР при принятии решения. Постановка формулировка задачи проблемы. На этом этапе аналитик должен трансформировать слова заказчика "хочу, чтобы было так" в четко сформулированную задачу. В 99% случаях решить матричную игру графическим способом не только не может предоставить, но и понятия не имеет о тех данных, которые необходимы аналитику для успешного разрешения проблемы. Оно и понятно — ведь у него нет соответствующего образования. На самом деле, такое образование заказчику и не нужно, ведь он обратился к грамотному специалисту-аналитику, выпускнику ЗГИА! Так будет лучше по всем решить матричную игру графическим способом — и по времени и, что немаловажно, по искажению информации формулировка задачи с чьих-то слов уже априори чревато ошибками. Аналитику необходимо увидеть изучить проблему "изнутри", для этого ему нужно "внедриться" в сложившуюся ситуацию. Зачастую аналитику надо "внедриться" и поработать на всех ключевых постах в организации заказчика, столкнувшейся с проблемой. На это может уйти от нескольких дней до месяцев. Построение математической модели задачи. Здесь четко поставленная и сформулированная жизненная проблема формализуется решить матричную игру графическим способом. Наборы различных конкретных значений переменных называются альтернативами также во многих литературных источниках набор переменных называется планом. Пересечение всех полученных ограничений задает допустимое множество. Набор переменных, которые удовлетворяют всем ограничениям, называется допустимым планом. Такой критерий называется целевой функцией. Задача состоит в том, чтобы найти такой набор переменных выбрать такую альтернативучтобы они принадлежали допустимому множеству т. Такой набор переменных называется оптимальным планом. Понятно, что оптимальный план должен быть допустимым, поэтому ищется оптимальный план только среди допустимых планов. Описанными первыми двумя этапами занимается дисциплина " математическое моделирование ", являющаяся составной частью исследования операций. Решение решить матричную игру графическим способом модели задачи. Решением математических моделей задач занимается дисциплина " математическое программирование ". В исследовании операций нет единого общего метода решений всех математических моделей. Многолетние исследования позволили обобщить и сгруппировать схожие типы моделей в определенные классы задач. Методы решения данных классов задач составляют отдельные разделы математического программирования, со временем решить матричную игру графическим способом даже трансформировались в отдельные дисциплины. Дадим краткий обзор некоторых из них. В этом решить матричную игру графическим способом задач и целевая функция и все ограничения являются линейными функциями. К таким задачам относятся: задача о плане производства; задача о диете; и др. В этих задачах целевая функция и все ограничения также являются линейными. Все переменные должны принимать только целочисленные значения. К таким задачам относятся: транспортная задача; задача о назначениях; и др. Применяется, когда исходную задачу можно разбить на меньшие подзадачи и решать их пошагово. К таким задачам относятся: задача коммивояжера; задача об управлении запасами; задача о ранце; и др. В этом классе задач либо целевая функция, либо все решить матричную игру графическим способом некоторые решить матричную игру графическим способом являются нелинейными функциями. Еще раз акцентируем внимание, что выше приведены лишь некоторые основные разделы математического программирования. Кроме указанных разделов еще существуют теория графов, теория расписаний, сетевое планирование, системы массового обслуживания, теория марковских процессов и др. Каждый раздел математического программирования — это отдельная сформировавшаяся дисциплина, требующая достаточно углубленного теоретического и, особенно, практического изучения. На этой стадии аналитик лицо, принимающее решение на основе пройденных предыдущих этапов должен принять оптимальное решение. Это и является предметом изучаемого курса " Теория принятия решений ". Само собой разумеется, что студенты, приступившие к изучению курса "Теория принятия решений" решить матричную игру графическим способом должны были изучить и, что немаловажно, успешно сдать и математическое моделирование, и математическое программирование. Без этого необходимого условия ЛПР вряд ли примет оптимальное решение. Невозможно ведь учиться в пятом классе, до этого не выучив во втором классе таблицы умножения! Равно как и невозможно быть директором роддома, не зная, откуда берутся дети. Принятие решения — это задача управленческого типа. Под ней понимается задача выбора лицом, принимающим решение ЛПР наилучшего способа исхода из некоторого конечного множества допустимых вариантов альтернатив. После принятия решения изучаемая система переходит в новое состояние, на которое будет реагировать окружающая среда. Окружающей средой может быть военная, экономическая, финансовая, техническая или какая-либо другая обстановка. При этом возможны такие случаи: 1 ЛПР знает реакцию окружающей среды на выбор им той или иной альтернативы, т. Такая ситуация называется задачей принятия решения в условиях определенности. В условиях определенности математическое программирование дает точное решение поставленной задачи. Поэтому необходимости выбирать из нескольких вариантов попросту нет. Таким образом, в условиях определенности "Теория принятия решений" не используется, такими задачами занимается математическое программирование. Такая ситуация решить матричную игру графическим способом задачей принятия решения в условиях риска. Такая ситуация называется задачей принятия решения в условиях неопределенности. При этом предполагается, что в перечисленных случаях окружающая среда реагирует на принятое ЛПР решение беспристрастно как природане преследуя никаких своих целей. В этом случае такая окружающая среда будет реагировать уже совсем не беспристрастно, а сугубо в своих интересах. Такая ситуация называется задачей принятия решения в условиях противодействия. Представьте что вы — глава пенсионного фонда Украины. На счета пенсионного фонда Украины поступают налоговые отчисления по достаточно большой процентной большей, чем в большинстве развитых странах ставке. По расчетам этих денег должно хватить на выплату пенсий сегодняшним пенсионерам и на накопление для выплат сегодняшним налогоплательщикам, по достижении ими пенсионного возраста. Ваша непосредственная обязанность, как главы пенсионного фонда обеспечить выполнение этих двух задач. Первая задача — выплата текущих пенсий — это чисто техническое задание. Будем считать, что с ним вы блестяще справитесь. А что делать с накоплениями? Если эти решить матричную игру графическим способом не трогать и "заморозить", то через несколько лет ввиду решить матричную игру графическим способом сегодняшний налогоплательщик получит сущие гроши. Естественным выходом так делают во всем мире будет эти средства во что-нибудь вложить инвестировать. Допустим, что вы, как инвестор, имеете возможность решить матричную игру графическим способом средства пенсионного фонда Украины в один из четырех финансовых институтов: акции кампании г-на Сороса, в депозит BankofAmerica, в облигации госказначейства США и в золото. Решить матричную игру графическим способом четыре альтернативы ваши возможные стратегии обозначим А1, А2, А3, А4. Допустим, окружающая среда Вв данном случае, ситуация на финансовом рынке на момент завершения депозита может принять одно из пяти определенных состояний. Эти пять состояний обозначим В1, В2, В3, В4, В5. Из многолетних статистических данных известны приближенные вероятности Q этих состояний: q1, q2, q3, q4, q5. Инвестиционная привлекательность проекта вложения средств определяется как конечная рентабельность. Оценка рентабельности считается известной для каждой стратегии инвестора и каждого состояния окружающей среды. Эти данные представлены в матрице, называемой матрицей выигрышей инвестора игрока Агде аij — это рентабельность инвестиционного проекта при выборе Аi-той альтернативы и при Вj-том состоянии окружающей среды. От вас, как главы пенсионного фонда Украины, требуется выбрать наилучший вариант вложения средств налогоплательщиков. Отметим, что понятие наилучшего исхода в различных условиях трактуется по-разному. Для различных условий принятия решений разработаны различные критерии выбора ЛПР наилучшего исхода. Решим данную задачу с помощью различных критериев. Следовательно, данная задача — это задача принятия решения в условиях риска. Строка, в которой он стоит и будет оптимальной стратегией. Необходимо решить матричную игру графическим способом, что наибольших элементов может быть несколько, тогда и оптимальных стратегий соответственно будет несколько. В нашем случае наибольший элемент 5,95 в матрице он выделен. Таким образом, в нашем примере оптимальной стратегией будет А3, т. Вероятности состояний окружающей среды считаются одинаковыми и равными. Следовательно, данная задача — это задача принятия решения в условиях риска с вероятностями. Строка, в которой он стоит и будет решить матричную игру графическим способом стратегией. Необходимо заметить, что наибольших элементов может быть несколько, тогда и оптимальных стратегий соответственно будет несколько. В нашем случае наибольший элемент в добавленном столбце 34 в матрице он выделен. Таким образом, в нашем примере решить матричную игру графическим способом стратегией будет А1т. Критерий Гермейера применяется для задач принятия решений в условиях риска. Он применяется в основном для решения задач выбора для оптимизации величины потерь или затрат. Такие задачи довольно часто встречаются в хозяйственной практике. Матрица потерь, задаваемая в условии, будет содержать отрицательные элементы потери выражаются отрицательными величинами. Если в матрице помимо отрицательных будут и положительные элементы, то исходная матрица потерь преобразуется в матрицу, содержащую только отрицательные элементы по правилу: аij — сгде с — некое выбранное ЛПР положительное число. Следует иметь в виду, что оптимальное решение зависит от выбора с. Критерий Гермейера применяется и для оптимизации величины прибыли как в нашей задачет. В общем случае Гермейер предложил решить матричную игру графическим способом в рассмотрение матрицу с такими элементами: Построим новую матрицу для нашего примера: Далее к этой матрице применяется принцип максимина. Показатель эффективности стратегии Аi при этом находится по формуле: Таким образом, новую матрицу необходимо дополнить справа еще одним столбцом, в который нужно внести наименьшие значения элементов каждой строки. Затем из элементов добавленного столбца нужно выбрать наибольший. Строка, решить матричную игру графическим способом которой он стоит и будет оптимальной стратегией. В нашем случае наибольший элемент в добавленном столбце 16 в матрице он выделен. Таким образом, в нашем примере оптимальной стратегией будет А3, т. Критерий Ходжа-Лемана привносит фактор определенной субъективности при принятии решения. Решение принимается в условиях риска. Однако у ЛПР есть некое недоверие к распределению вероятностей состояний окружающей среды. Поэтому ЛПР вводит некий "коэффициент доверия" l к вероятностям состояний окружающей среды 0 £l£ 1. Чтобы сильно не рисковать, обычно таким коэффициентом берут 0,4. Этот коэффициент ещё называют уровнем оптимизма. Строка, в которой он стоит и будет оптимальной стратегией. В нашем случае наибольший элемент 4,78 в матрице он выделен. Таким образом, в нашем примере оптимальной стратегией будет А3, т. Решим поставленную выше задачу при принятии решения в условиях неопределенности. В таких условиях также нет единой трактовки понятия наилучшего исхода. Поэтому данную задачу тоже будем решать с помощью различных критериев. Принцип критерий Вальда предполагает полное недоверие ЛПР известным вероятностям состояний окружающей среды. Либо же вероятности состояний окружающей среды считаются неизвестными. Следовательно, данная задача — это задача принятия решения в условиях неопределенности. При неопределенности выбор наилучшей стратегии может основываться на введении различных разумных гипотез о поведении окружающей среды. Одна из важнейших и основополагающих гипотез такого типа называется гипотезой антагонизма. Она состоит в предположении, что окружающая среда ведет себя наихудшим для ЛПР образом. На этой гипотезе основывается принцип максимина, называемый также принципом гарантированного результата. Затем из элементов добавленного столбца нужно выбрать наибольший. Строка, в которой он стоит и будет оптимальной стратегией. Выбранные таким образом альтернативы полностью исключают всякий риск! Это означает, что ЛПР не может столкнуться с худшим результатом, чем тот на который он ориентируется. В силу этого принцип максимина является принципом крайнего пессимизма ЛПР принципом наибольшей осторожности. Как бы ни вела себя окружающая среда, результат не может оказаться ниже значения критерия максимина! Это свойство делает принцип максимина наиболее применяемым на практике, особенно в случаях, где от конечного результата зависят жизни людей. Народная интуиция уже веками непроизвольно использует принцип максимина. Это подтверждается такими поговорками как "Семь раз отмерь — один раз отрежь", "Береженого бог бережет", "Лучше синица в решить матричную игру графическим способом, чем журавль в небе". В нашем случае наибольший элемент в добавленном столбце 4 в матрице он выделен. Таким образом, в нашем примере оптимальной стратегией будет А3, т. Критерий азартного игрока принцип максимакса — это диаметральная противоположность принципу максимина, он тоже применяется при принятии решения в условиях неопределенности. Критерий азартного игрока допустим в случаях очень низкого риска, а также когда выигрыш намного превышает возможные потери. Затем из элементов добавленного столбца нужно выбрать наибольший. Строка, в которой он стоит и будет оптимальной стратегией. В нашем случае наибольший элемент в добавленном столбце 15 в матрице он выделен. Таким образом, в нашем примере оптимальной стратегией будет А1, т. Применение критерия азартного игрока народная мудрость выразила пословицей "Кто не рискует, тот не пьет шампанского". Критерий произведений тоже применяется при принятии решения в условиях неопределенности. Это более нейтральный критерий по сравнению с принципом максимина и критерием азартного игрока. Критерий произведений производит некое "выравнивание" между большими и малыми значениями аij. Затем из элементов добавленного столбца нужно выбрать наибольший. Строка, в которой он стоит и будет оптимальной стратегией. В нашем случае наибольший элемент в добавленном столбце 8640 в матрице он выделен. Таким образом, в нашем примере оптимальной стратегией будет А3, т. Решение опять принимается в условиях неопределенности. Построенная таким способом матрица называется "матрицей сожалений". И действительно, ведь каждый элемент rijвыражает "сожаление" ЛПР по поводу того, что он не выбрал наилучшего решения по отношению к Далее к матрице сожалений применяется критерий минимакса. Затем из элементов добавленного столбца нужно выбрать наименьший. Строка, в которой он стоит и будет оптимальной стратегией. В нашем случае наименьший элемент в добавленном столбце 5 в матрице он выделен. Таким образом, в нашем примере оптимальной стратегией будет А3, т. Решение принимается в условиях неопределенности. Гурвиц предложил критерий, показатель эффективности стратегии Аi при котором находится где-то между точками зрения крайнего оптимизма критерий азартного игрока и крайнего пессимизма критерий максимина. Для этого вводят некий коэффициент l — уровень пессимизма. Выбор уровня пессимизма — процесс субъективный. Чаще всего его выбирают равным либо 0,6 либо 0,5. В третий добавленный столбец внесем сумму значений первых двух добавленных столбцов: Затем из элементов добавленного столбца нужно выбрать наибольший. Строка, в которой он стоит и будет оптимальной стратегией. В нашем случае наибольший элемент в добавленном столбце 7,2 в матрице он выделен. Таким образом, в нашем примере оптимальной стратегией будет А1, т. Раздел "Теории принятия решений" в условиях противодействия называется теорией игр. А так как в основном условия задач в "Теории принятия решений" задаются в виде матриц, то рассматриваемые конфликтные ситуации называются матричными играми. В матричных играх состояниями В1, В2, …, Вnуправляет не беспристрастная природа, активный противник, преследующий сугубо свои цели. ЛПР, управляющий своими стратегиями ходами А1, А2, …, Аn, и его противник, управляющий стратегиями ходами В1, В2, …, Вnв данной ситуации называются игроками. Элементы матрицы аij решить матричную игру графическим способом, заданной в условии, называются выигрышами платежами игрока А вся матрица называется матрицей платежей. Далее возможны два случая. Если в матричной игре задана одна платежная матрица, то естественно предположить, что решить матричную игру графическим способом первого игрока будут являться проигрышами второго игрока. Такая антагонистическая ситуация называется матричной игрой с нулевой суммой. Цель игры для первого игрока ЛПР — побольше выиграть, а для второго игрока — поменьше проиграть. Иными словами, цельюигры является определение оптимальной стратегии для каждого игрока — такой стратегии, при которой выигрыш первого игрока будет максимальным, а проигрыш второго игрока будет минимальным. Однако, такая ситуация бывает не всегда. Зачастую в жизни ваш противник преследует сугубо свои цели, определенные своими выигрышами. В этом случае матричная игра задается двумя платежными матрицами. Или для краткости элементы одной платежной матрицы состоят из двух чисел: аij, bij. Такая ситуация называется матричной игрой с ненулевой суммой. И для первого и для второго игроков цель игры — побольше выиграть. Очевидно, что рассмотренная матричная игра предполагает, что каждый игрок делает только по одному ходу. Естественно, что многие конфликтные ситуации предполагают по нескольку ходов каждого игрока. Такие игры рассматриваются пошагово и решаются методами динамического программирования. На каждом отдельном шаге такая игра рассматривается как игра с одним ходом. Матричные игры для двух игроков с нулевой и ненулевой суммой достаточно хорошо изучены решить матричную игру графическим способом для них разработана теория оптимального поведения игроков. Однако в жизненной практике в конфликтных ситуациях зачастую участвуют более чем две стороны. Чем больше игроков — тем больше проблем. Такие игры менее изучены и здесь есть просторное поле для новых фундаментальных научных исследований. Несмотря на несколько легкомысленное звучание основных терминов, решить матричную игру графическим способом игр является строго научной дисциплиной с точными математическими выкладками. На протяжении всего своего исторического пути развития человечество ежедневно сталкивается с конфликтными ситуациями: политическими, военными, экономическими, социальными решить матричную игру графическим способом прочими, которые проявляются как в глобальных, так и в малых вплоть решить матричную игру графическим способом личных формах. И если бы Человеку хватило бы решить матричную игру графическим способом в конфликтных ситуациях пользоваться не силой, не надеждой на "авось", а математикой, то жизнь наверняка была бы другой. Будем надеяться, что новое поколение, усвоив курс "Исследование операций" - изменит жизнь к лучшему! Итак, рассмотрим игру, в которой ЛПР противостоит "думающий" противник. Возможны такие случаи: 1 Ходы игроками делаются одновременно. Очевидно, что случаи 12 и 4 идентичны — никто из игроков не знает о ходе противника ничего. Так как ЛПР имеет полную информацию о ходе противника, то мы имеем ситуацию принятия решения в условиях полной определенности. Как уже отмечалось выше, такими задачами занимается математическое программирование. Так как ЛПР ходит первым, решить матричную игру графическим способом его противник наверняка выберет самую худшую для ЛПР стратегию. Поэтому в такой ситуации ЛПР необходимо принимать решение о своем ходе согласно принципу наибольшей осторожности, т. Это утверждение однозначно, легко математически доказывается и не должно подвергаться сомнению ни в каких жизненных ситуациях. Итак, содержательны по своей сути только случаи 12 и 4которые сводятся к одному случаю. Это как мы видим, принятие решения в условиях неопределенности. Рассмотрим парную конечную антагонистическую игру. Пусть игрок А располагает mличными стратегиями, которые обозначим А1, а2. Пусть у игрока В имеется nличных стратегий, обозначим решить матричную игру графическим способом В1, В2. Говорят, что игра имеет размерность mх n. Однозначно определяется исход игры, т. Предположим, что значения аijизвестны для любой пары стратегий Аi Вj. Значения этих выигрышей заданы в платежной матрице Строки этой таблицы соответствуют стратегиям игрока Аа столбцы — стратегиям игрока С помощью хорошо нам решить матричную игру графическим способом принципа максимина найдем гарантированный наибольший выигрыш для игрока А: Найденное число a называется нижней ценой игры. Стратегия, соответствующая максимину, называется максиминной стратегией — она решить матричную игру графическим способом оптимальной стратегией игрока Посмотрим на эту ситуацию с точки зрения второго игрока: ему необходимо уменьшить свои потери. В таком случае критерию максимина превратится в минимаксный и гарантированный наименьший проигрыш для игрока В будет решить матричную игру графическим способом Найденное число в называется верхней ценой игры Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимаксной стратегией — она будет оптимальной стратегией игрока Решить матричную игру графическим способом. Элемент платежной матрицы, в котором достигается чистая цена игры, называется седловой точкой по аналогии с поверхностью седла, которая искривляется вверх в одном направлении и вниз — в другом. Найденные оптимальные стратегии игроков А и В в данном случае называются чистыми стратегиями. Матричная игра с платежной матрицей, имеющей седловую точку, называется игрой, разрешимой в чистых стратегиях. При этом очевидно, что решение игры обладает устойчивостью, т. Оба игрока находятся в "положении равновесия", из которого не выгодно выходить каждому. Пусть имеем игру с платежной матрицей: Проверим, имеет ли наша матричная игра седловую точку? Для этого используем принцип максимина. Дополним исходную матрицу справа еще одним столбцом, а снизу — еще одной строкой. В них будем заносить значения минимальных элементов каждой строки и значения максимальных элементов каждого столбца соответственно: Найдем решить матричную игру графическим способом цену игры. Найдем верхнюю цену игры. А значит, у данной матричной игры имеется пара оптимальных чистых стратегий А3В2. Но такое бывает далеко не всегда. Если платежная матрица не имеет седловой точки, то. Такая игра в чистых стратегиях не разрешима. Первый игрок в таком случае будет стремиться увеличить свой выигрыш, а второй — уменьшить свой проигрыш. Такие наборы вероятностей применения чистых стратегий игроками А и В называются смешанными стратегиями. Решить матричную игру графическим способом, что чистые стратегии — это частный случай смешанных стратегий. Основная теорема решить матричную игру графическим способом игр Теорема фон-Неймана : любая конечная игра двух лиц с нулевой суммой разрешима в смешанных стратегиях. Как же искать смешанные стратегии? Их можно найти точно — алгебраическим способом в частности, с помощью симплекс-метода или графическим способом для игры размерности 2 х nили m х 2. Для того чтобы точно найти решение матричной игры в смешанных стратегиях, нужно представить заданную матричную игру в виде задачи линейного программирования и решить её симплекс-методом. Рассмотрим матричную игру, не разрешимую в чистых стратегиях, в общем виде: Заметим, что в матричной игре, разрешимой в чистых стратегиях, элементы платежной матрицы могут быть как положительными, так и отрицательными. Для симплекс-метода, которым будем решать игру, не разрешимую в чистых стратегиях, необходимо, чтобы элементы платежной матрицы были неотрицательными. Для этого, если в платежной матрице будут отрицательные элементы, нужно ко всем элементам платежной матрицы прибавить достаточно большое число с. При этом решение задачи не изменится, а цена игры увеличится на с. Её применение гарантирует первому игроку выигрыш не меньший, чем цена игры n. Решить матричную игру графическим способом есть нужно так подобрать p1, p2, …, pmчтобы n была как можно большей. Или же, что то же самое, чтобы была как можно меньшей. Пусть имеем игру с платежной матрицей: Проверим, имеет ли наша матричная игра седловую точку? Для этого используем принцип максимина. Как видим, выигрыши игроков не совпадают, значит у матрицы нет седловой точки. Значит, нужноискать смешанные стратегии. В данном конкретном случае в множестве ограничений будет четыре неравенства т. Пересчитывать симплекс- таблицы с четырьмя строками не очень сильно хочется, поэтому удобнее решить двойственную задачу для коэффициентов вектора смешанной стратегии второго игрокав которой будет всего две строки т. Однако, как показывает многолетняя практика, студенты обладают так называемой "краткосрочной памятью", которая работает только до сдачи необходимого экзамена. Поэтому вспомнить сейчас методику применения симплекс-метода вряд ли кто-то сможет. Для этого нужно сходить в библиотеку, найти специальную литературу и умело ей воспользоваться. Осмелимся заметить, что и этого половина студентов сделать поленится и благополучно завалит данную тему. Поэтому для всеобщего блага приведем здесь методику применения симплекс-метода пройденного и успешно сданного в математическом программировании для нашей конкретной задачи. Неравенства во множестве ограничений нужно превратить в равенства с помощью добавления искусственных переменных. В полученном случае начальный решить матричную игру графическим способом план будут составлять искусственные переменные, входящие в ограничения с коэффициентами +1 :{ y5 ; y6 }. Новых искусственных переменных для данной задачи вводить не требуется. Исходная симплекс-таблица для нашей двойственной задачи будет иметь вид: В столбец "текущий базис" ставим переменные, начального опорного плана : { y5 ; y6 }. В столбец "сi" ставим их коэффициенты в целевой функции. В нашем случае это условие не выполняется, значит, текущий базис можно улучшить. В нашем случае видим, что целевая функция сверху ограничена. У нас так и есть. Столбец Ak, содержащий эту оценку называется ведущим. В нашем случае все оценки одинаковы. В столбец "текущий базис" вместо переменной у5 ставим переменную у3. В столбец "сi" ставим коэффициент переменной у3 в целевой функции. Самая верхняя строка таблицы всегда остаётся неизменной. Значит ведущим столбцом на данном шаге решить матричную игру графическим способом A4 пометим его стрелкой. Таким образом, в новый текущий базис вместо переменной у6 надо ввести переменную у4. Пересчитываем все элементы новой симплекс-таблицы. Это сделано из тех соображений, что как опять таки показывает практика, даже решить матричную игру графическим способом смотря на достаточно хорошее понимание и усвоение теоретического материала, ошибки зачастую возникают именно при выполнении элементарных арифметических операций. Не следует думать, что средняя школа осталась позади, и вы всё можете посчитать в уме. Поэтому всем студентам мы советуем не лениться и подробно расписывать все арифметические действия особенно с дробями. Следовательно, данный план {у3, у4} в столбце "текущий базис" — оптимален. Больше пересчитывать симплекс-таблицу не нужно. Решение задачи линейного программирования полностью содержится в последней симплекс-таблице. Значения переменных находятся в столбце А0 возле соответствующих переменных. Переменные у1 и у2 не входят в базис, поэтому их значения будут равны нулю. Значения двойственных переменных находятся в строке оценок возле искусственных переменных. Особо "продвинутые" студенты при нахождении решения задачи линейного программирования, чтобы не считать симплекс-метод вручную академическим способом, могут воспользоваться средствами MS Excel. Это гораздо быстрее и удобнее. Графическим же способом найти решение можно лишь для игры размерности 2 х n. По условию наша игра имеет размерность 2 х n. В итоге будем иметь n аналогичных выражений, которые надо минимизировать. Эта огибающая представляет минимальный гарантированный выигрыш игрока А, независимо от того, что делает игрок Точка максимума нижней огибающей решить матричную игру графическим способом это и есть решение задачи по принципу максимина. Координатами этой точки будут р1 — одна из решить матричную игру графическим способом смешанной стратегии игрока А и a — выигрыш игрока Все линии и точки, лежащие за пределами этого интервала не принимаются во внимание. Точка максимума нижней огибающей — это точка пересечения прямой 3 и прямой 4. Аналогичные рассуждения нужно повторить и для игрока Точка максимума нижней огибающей — это точка пересечения прямой 3 и прямой 4. Значит оптимальная смешанная стратегия игрока В определяется двумя стратегиями В3 и В4 соответственно. Видим, что ответы в случае решения задачи симплекс-методом и в случае решения этой же задачи графическим методом совпали. Мораль вышесказанного такова, что если имеем задачу размерности 2 х nи под рукой нет компьютера, то точное решение можно получить с помощью графического метода. Если имеем задачу размерности m х 2то делаем то же самое, поменяв игроков местами и транспонировав платежную матрицу. Если же под рукой есть компьютер, то такие задачи удобнее решать симплекс-методом средствами MS Excel. Если же поставленная задача любой большей размерности, то решить ее можно только симплекс-методом либо вручную, решить матричную игру графическим способом опять таки средствами MS Excel. Принятие решения в условиях нескольких критериев выбора Постановка задачи, основные понятия Все перечисленные классические критерии решить матричную игру графическим способом не охватывают всевозможные практические ситуации. К каждой конкретной практической ситуации ЛПР может выработать свой "новый" критерий, который будет более точно количественно и качественно описывать данную ситуацию. К сожалению или счастью, жизнь устроена несколько сложнее и достаточно часто бывает невозможно описать ситуацию одним критерием. Даже в обыденной жизни мы практически никогда не используем единственный критерий, например, при выборе подарка ко дню рождения, или при выборе блюд из меню в кафе, или при выборе места, куда поехать в отпуск. А представьте, что вы — проектировщик баз данных. В таком случае при выборе оптимального проекта баз данных вам следует учитывать тоже несколько критериев: объем занимаемой оперативной памяти, средняя скорость одной операции, размер программного кода, аппаратные требования, обучаемость обслуживающего персонала, возможность и стоимость сопровождения и прочие. Ниже будут рассматриваться прикладные задачи с уже изученными нами критериями: Байеса, Лапласа и др. Но если вы все-таки — например, проектировщик баз данных, то вам надо будет вместо них рассматривать "свои" критерии, которые являются спецификой вашего рода деятельности. Такие ситуации решить матричную игру графическим способом многокритериальными задачами принятия решений. Теоретически можно представить себе случай, когда в допустимом множестве альтернатив существует одна альтернатива, которая лучше всех по всем критериям сразу. Очевидно, что она и будет лучшей. Однако на практике такое бывает не всегда. Для решения таких задач разработаны специальные методы. Надо сказать, что решить матричную игру графическим способом научное направление сравнительно ново — оно развивается последние 30 — 40 лет. Уже известные методы корректируются, обобщаются, разрабатываются новые. Приятно отметить, что одним из основоположников и всемирно признанным гуру данного научного направления является наш решить матричную игру графическим способом соотечественник Рассмотрим приведенный выше числовой пример. И применим к нему все изученные нами критерии. Результаты отобразим в таблице: Заметим, что стратегия альтернатива А4 по всем девяти критериям хуже, чем любая другая стратегия. Её можно убрать из рассмотрения, при этом результат выбора не изменится. Это утверждает принцип Парето. Оставшиеся альтернативы А1, А2, А3, будут образовывать множество Парето для данной задачи. Из допустимого множества альтернатив множество Парето образуют те альтернативы, каждая из которых не хуже по всем критериям, чем любая альтернатива, не вошедшая во множество Парето, а хотя бы по одному критерию — лучше. Согласно принципу Парето оптимальная альтернатива содержится во множестве Парето. Если, например решить матричную игру графическим способом задача содержит 100 альтернативных решений, а множество Парето состоит из 20 альтернатив, то применение принципа Парето в 5 раз уменьшает размерность задачи, соответственно в 5 раз решить матричную игру графическим способом скорость работы программы, реализующей решение такой задачи! Процесс сведения многокритериальной задачи к однокритериальной называется свёрткой. Линейные свёртки Начнем с линейных свёрток. Все линейные свёртки основываются на принципе: "низкая оценка по одному критерию может быть компенсирована высокой оценкой по другому". Результаты отобразим в таблице: В последнем столбе таблицы размещены результаты свёртки. Как видим, оптимальной стратегией является А3. Такая свёртка является самой простой из линейных, она не учитывает количественных показателей значений критериев. Как видим, оптимальной стратегией также является А3. Но в этом случае уже нет такого количественного отрыва как в предыдущей простой линейной свёртке. Да и стратегия А2 уже не кажется очень сильно плохой. Если бы были чуть другие начальные данные, то ответы двух рассмотренных вариантов свёрток могли бы и не совпасть. Линейная аддитивная свёртка с нормирующими множителями позволяет работать с количественными критериями, имеющими, как в нашем случае, разные единицы измерений. Очевидно, что в каждой отдельной конкретной ситуации частные критерии по-разному влияют на общий суперкритерий. Поэтому естественно им придать в общей формуле разный удельный вес. Это можно сделать с помощью весовых коэффициентов. Но где же их взять? Обычно ЛПР сам назначает каждому критерию весовые коэффициенты на свой "мудрый" взгляд. На этом этапе строгая математическая решить матричную игру графическим способом заканчивается — конечный результат лежит целиком на совести ЛПР и зависит от его опыта интуиции в данной сфере. Однако от такого субъективизма никуда не денешься — нельзя же всю жизнь формализовать с помощью математических формул! Как видим, при неизменном условии задачи оптимальной получилась стратегия А2, хотя в двух предыдущих свёртках она "пасла задних". Все дело в весовых коэффициентах! Максиминная и лексикографическая свёртки Максиминная свёртка — это самый простой способ построения обобщенного критерия суперкритерияоснованный на применении уже хорошо нам известного принципа максимина. Пусть мы имеем оценки некоторых объектов альтернатив по nкритериям. Каждый из критериев имеет свою размерность, и эти размерности обычно не совпадают. Поэтому для начала нужно нормировать все имеющиеся оценки. Далее к полученной матрице применяем принцип максимина. Посмотрим, как это делается на нашем примере: Исходную матрицу мы, так же как и ранее, дополнили справа еще одним столбцом, в который внесли значения минимальных элементов каждой пересчитанной строки. Из элементов добавленного столбца выбираем наибольший. Строка, в которой он стоит и будет оптимальной альтернативой. В данном случае оптимальной будет альтернатива А1. Недостаток максиминной свёртки — это то, что она учитывает только те критерии, которые дают самые плохие оценки, все остальные критерии игнорируются. Из-за этого максиминную свёртку используют не слишком часто, чаще используют линейные и мультипликативные свёртки. Зато такой подход всегда дает гарантированный результатниже которого исхода не будет. А что делать, если максиминная свёртка даст несколько одинаковых результатов такое тоже бывает! Для такого интересного случая Джоффрион предложил использовать так называемую лексикографическую свёртку. Берутся две или несколько оптимальные альтернативы, полученные методом максиминной свёртки, из них выбирается наилучшая методом линейной свёртки. Как видим, с такими числовыми данными максиминная свёртка оптимальными считает альтернативы А1 и Решить матричную игру графическим способом. Теперь после максиминной свёртки применим к альтернативам А1 и Решить матричную игру графическим способом линейную свёртку: В результате получили однозначный ответ: оптимальной является альтернатива А1. Мультипликативная свёртка основывается на постулате: "низкая оценка хотя бы по одному критерию влечет за собой низкое значение функции полезности". Действительно, если вы выбираете торт, и он — несвежий, то это обстоятельство никак не может быть компенсировано его красотой или ценой. Оптимальной стратегией снова является А3. Итоги отражены в таблице: Оптимальной стратегией снова является А3. В конце еще раз напомним непременное правило: перед тем, как применять какую-либо свёртку нужно автоматически всегда выделять множество Парето. И именно для множества Парето применять свёртки. Иначе вы или ваша программа будете выполнять лишнюю ненужную работу. Многокритериальный выбор на языке бинарных отношений До этого были рассмотрены случаи, когда все критерии оценивали все альтернативы. Все альтернативы можно было сравнить друг с другом по каждому критерию. А что делать, если не все альтернативы будут оценены всеми критериями? В таком случае появятся альтернативы, не сравнимые между собой по некоторым критериям. Рассмотрим такой случай на нашем примере уберем из решить матричную игру графическим способом некоторые оценки : При таком условии альтернативы можно сравнить между собой лишь попарно. Такие попарные сравнения называются бинарными отношениями. Обозначается бинарное отношение на примере критерия Байеса из нашей таблицы А1RА2 — альтернатива А1 лучше альтернативы А2. Дадим математически точное определение бинарных отношений. Бинарным отношением на множестве Ω называется произвольное подмножество R множества Ω Х Ωгде Ω Х Ω — это множество всех упорядоченных пар ai ;ajгде aiaj Î Ω. Бинарные отношения очень удобно изображать наглядно. Представим четыре стратегии из нашего примера в виде точек на плоскости. Если имеем, что какая-то альтернатива лучше решить матричную игру графическим способом, то проведем стрелку от лучшей альтернативы к худшей. На примере критерия Байеса из нашей таблицы имеем А1RА2поэтому на плоскости проведем стрелку от точки А1 к точке А2. Аналогичным образом поступим со всеми начальными данными из таблицы. Заметим, что бинарные отношения не исключают отношения элемента с самим собой. На рисунке такое бинарное отношение будет задаваться петлёй со стрелкой. В результате получим следующую картину: Подобные фигуры называются ориентированными графами. Точки — это вершины графа, стрелки между точками — это дуги графа. Дадим математически точное определение графа. Графом называется пара Е, егде Е — непустое конечное множество элементов вершине — конечное возможно и пустое множество пар элементов из Е множество дуг. Две вершины, соединенные дугой, называются смежными вершинами. Дуга, соединяющая две вершины, называется инцидентной этим вершинам. Две вершины, соединенные дугой, называются инцидентными этой дуге. Как же произвести выбор наилучшего элемента из имеющихся альтернатив наилучшей вершины графа? Для этого сначала необходимо определить, что же будет являться наилучшей вершины наилучшими вершинами графа. На этот счет имеются две исторически сложившиеся в теории графов точки зрения. Иначе говоря, максимальный элемент множества должен быть "лучше" каждого элемента этого множества. Не исключается и решить матричную игру графическим способом, что он может быть "лучше" самого себя, кроме этого максимальный элемент может быть одновременно и "хуже" какого-либо элемента этого множества. Слова "лучше" и "хуже" не совсем верно передают смысл бинарных отношений. Для графов понятие максимальный элемент — это вершина, из которой исходят стрелки во все остальные вершины графа. Иначе говоря, оптимальный по Парето элемент множества — это такой элемент, "лучше" которого в рассматриваемом множестве нет. Для графов понятие оптимальный по Парето элемент — это вершина, в которую не входит ни одна стрелка. Видим, что два разных подхода к определению наилучшего элемента в нашем примере дали одинаковый результат. Но такое бывает не всегда. У графа на рис. Оптимальных по Парето элементов у данного графа нет. У графа на рис. Заметим: то, что в неё входит стрелка из вершины А4по определению совершенно не важно. Оптимальных по Парето элементов у данного графа нет. У графа на рис. Оптимальных по Парето элементов у данного графа нет. У графа на рис. Оптимальными по Парето элементами будут вершины А1 и А4 — в них не входит ни одна стрелка. У графа либо нет решить матричную игру графическим способом элементов, либо есть. Оптимальными по Парето элементами могут быть несколько вершин графа, либо таковых может не быть. В графе не может один или одни элемент быть максимальным, решить матричную игру графическим способом другой или другие элемент быть оптимальным по Парето. Итак, если имеется решить матричную игру графическим способом многокритериального выбора, описанная на языке бинарных отношений, то её удобно представить наглядно в виде графа. Однако такое удобство хорошо для небольшого количества вершин альтернатив. Если вершин довольно много, то вся наглядность пропадает и легко можно решить матричную игру графическим способом. В таком случае граф удобно представить в виде матрицы смежности или матрицы инцидентности. Максимальные элементы — это те, чьи строки состоят из всех единиц кроме себя решить матричную игру графическим способом — там может быть как нуль, так и единица. А оптимальные решить матричную игру графическим способом Парето элементы — это те, чьи столбцы состоят из всех нулей. Матрица инцидентности графа — это матрица, строки которой соответствуют вершинам, а столбцы — дугам. При этом предполагается, что граф не должен иметь петель. То есть каждая дуга из одной вершины выходит и в другую вершину входит. Налицо также очевидна закономерность: максимальные элементы — это те, чьи строки содержат единиц на одну меньше, чем количество строк вершина оптимальные по Решить матричную игру графическим способом элементы — это те, чьи строки не содержат минус единиц. Используя замечательные особенности матриц смежности инцидентности графов, не составит большого труда разрабатывать компьютерные программы по принятию решений для задач выбора, описанных на языке бинарных отношений. Принятие корпоративных решений Групповая оценка объектов В приведенном выше материале подразумевалось, что ЛПР — это некий эксперт-аналитик, принимающий решение по поставленной проблеме. А если проблемой занимаются несколько экспертов? А решение то должно быть одно! Такая задача называется задачей группового выбора или задачей принятия корпоративного решения. Тут нужно отметить один важный психологический момент. Взрослого человека начиная лет с 5-10 практически никогда невозможно заставить изменить свое мнение. Есть, конечно, "безотказные" методы типа насилия, или денежного подкупа, но они к науке не имеют никакого отношения. Поэтому эксперты в группе всегда будут: - иметь разные мнения по поводу набора критериев, по которым надо решить матричную игру графическим способом альтернативные решения; - иметь разные мнения о сравнительной значимости весовых коэффициентах критериев; - давать разные оценки альтернатив по критериям; - кроме этого эксперты будут иметь разную компетентность. Исходя из таких очевидных фактов, можно с уверенностью утверждать, что у группы экспертов всегда должен быть руководитель. Каждый из экспертов группы в принятии своего решения будет руководствоваться своим опытом и своими знаниями. Будем надеяться, что вышеприведенный материал окажет экспертам некую посильную помощь. Материал данного подраздела предназначен для руководителей групп экспертов, которые на основе всех решений группы обязаны приять единственное правильное решение. Вспомним, как обычно преодолеваются групповые разногласия? В подавляющем большинстве случаев это делается с помощью обыкновенного голосования. Рассмотрим формализованный пример голосования. В таблице начальных данных отражены количественные оценки четырёх альтернативных решений девятью экспертами: Для начала необходимо найти множество Парето: это будут альтернативы А1, А2, А4. Оптимальное решение будем искать среди них. Как видим, оптимальным решением является альтернатива А4 — за неё проголосовало пять экспертов из девяти — больше половины. При всей простоте, широкой распространенности решить матричную игру графическим способом многовековой исторической традиции использования метод голосования имеет один существенный недостаток. Голосование не считается с мнением меньшинства. Мнение меньшинства полностью игнорируется! Но иногда ведь случается, правда очень редко что именно среди этого меньшинства и находилось наилучшее решение! Кроме практического результата решить матричную игру графическим способом наносит психологический удар по тем экспертам, мнения которых были отброшены. Математические методы принятия корпоративных решений стараются исправить этот недостаток. Учитываются мнения решить матричную игру графическим способом экспертов. В этом случае оптимальным решением является альтернатива А1. Заметим, что такой способ учитывает также и то, что эксперты пользовались разными шкалами оценок объектов. А теперь попробуем учесть ещё и степень компетентности каждого эксперта. Ниже будет рассмотрен один из способов определения коэффициентов компетентности экспертов. А пока рассмотрим ту же задачу с уже якобы вычисленными коэффициентами компетентности экспертов. В таблице снова сначала — условие, ниже — результаты: А теперь мы получили в качестве оптимальной альтернативу А2. Надо отметить, что приведенные два последних способа принятия группового решения годятся только для согласованных суждений экспертов. Согласованность — это степень расхождения мнений экспертов. Методика вычисления согласованности оценок экспертов достаточно сложна. По необходимости с ней можно ознакомиться в специальной литературе по принятию корпоративных решений. Если эксперты честно оценивают реальный объект, то их оценки не должны сильно расходиться. Если же они все-таки существенно расходятся, то можно получить часто упоминаемую в литературе так называемую "среднюю температуру по больнице". Действительно, если сложить температуру всех высокотемпературных больных и температуру тел в морге, а потом поделить на общее количество замеров, то можно получить 36,6°. Свидетельствует ли это о решить матричную игру графическим способом, что "в среднем" все находящиеся в больнице здоровы? Если согласованность оказалась низкой, то нужно пытаться выяснить причину расхождений и по возможности попытаться устранить её. Часто причиной может быть отсутствие важной информации у некоторых экспертов. В некоторых случаях эксперты разбиваются на две устойчивые группы. Группы нужно уметь выявлять и обрабатывать отдельно. Определение коэффициентов компетентности экспертов Теперь опишем одну из методик определения коэффициентов компетентности экспертов. Рассмотрим опять нашу задачу, в которой принимали участие девять экспертов. Предложим каждому из девяти экспертов в отдельности самому сформировать экспертную группу. Каждый эксперт может включить в экспертную группу произвольное количество участников. Себя он может как включать в эту группу, так и нет. Они уже были использованы в примере группового выбора, рассмотренного выше. Критерии модульного оценивания знаний Кредитно-модульная система — это модель организации учебного процесса, которая основывается на объединении двух составляющих: модульной технологии обучения и кредитов зачетных единиц и охватывает содержание, формы контроля качества знаний, навыков и учебной деятельности студента в процессе аудиторной и самостоятельной работы. Рейтинговая система оценивания — это система определения качества выполненной студентом всех видов аудиторной и самостоятельной работы и уровня приобретенных им знаний и навыков путем оценивания в баллах результатов этой работы во время текущего модульного и полусеместрового итогового контроля, с последующим переведением рейтинговой оценки в баллах в оценки традиционной национальной шкалы и шкалы ECTS. Рейтинговая оценка состоит из баллов, которые студент получает за определенную учебную деятельность на протяжении усвоения данного модуля — тестирование, выполнение и защита индивидуальных задач домашних контрольных работвыполнение аудиторной самостоятельной работы и выступления на практических занятиях и т. Семестровый курс дисциплины "Теория принятия решений" разбит на 4 модуля. В конце каждого модуля проводится модульный контроль в виде аудиторной контрольной работы АКР или защиты домашней контрольной работы ДКРкоторый оценивается до 25 баллов. Общая балльная оценка за полусеместр выводится простой суммой полученных студентом баллов за все модули полусеместра. Максимальная полусеместровая оценка составляет 100 баллов. Цель домашней контрольной работы — детальная и решить матричную игру графическим способом тщательная проработка лекционного и практического материала, с целью проверки и контроля степени его усвоения, формирование у студентов предусмотренных рабочей программой навыков. Домашняя контрольная работа выполняется на бумажных носителях. Домашняя контрольная работа содержит 30 вариантов. Студент выбирает вариант домашней контрольной работы согласно своему порядковому номеру в журнале списка своей группы. Контрольная работа, не соответствующая своему варианту, не проверяется и к защите не допускается. Определить графическим методом оптимальные смешанные стратегии и цену игры: 1 вариант2 вариант3 вариант 4 вариант5 вариант6 вариант 7 вариант8 вариант9 вариант 10 вариант11 вариант12 вариант 13 вариант14 вариант15 вариант 16 вариант17 вариант18 вариант 19 вариант20 вариант21 вариант 22 вариант23 вариант24 вариант 25 вариант26 вариант27 вариант 28 вариант29 вариант30 вариант Вопросы к модульным тестированиям Общие вопросы к всем модулям: 1. Что такое исследование операций? Что такое математическая модель? Что такое допустимое множество? Что такое допустимый план? Что такое целевая функция? Что такое оптимальный план? Что такое математическое моделирование? Что такое математическое программирование? Что такое линейное программирование? Что такое целочисленное программирование? Что такое динамическое программирование? Что такое нелинейное программирование? Что такое задача принятия решения? Что такое бинарные отношения? Что такое ориентированный граф? Что такое множество Парето? Что такое принятие решения в условиях определенности? Что такое принятие решения в условиях риска? Какие условия использования критерия Байеса? Решить задачу с помощью критерия Байеса. Какие условия использования критерия Лапласа? Решить задачу с помощью критерия Лапласа. Какие условия использования критерия Гермейера? Решить задачу с помощью критерия Гермейера. Какие условия использования критерия Ходжа-Лемана? Решить задачу с помощью критерия Ходжа-Лемана. Решить матричную игру графическим способом такое принятие решения в условиях неопределенности? Какие условия использования принципа максимина? Решить задачу с помощью принципа максимина. Какие условия использования критерия азартного игрока? Решить задачу с помощью критерия азартного игрока. Какие условия использования критерия произведений? Решить задачу с помощью критерия произведений. Какие условия использования критерия Севиджа? Решить задачу с помощью критерия Севиджа. Какие условия использования критерия Гурвица? Решить задачу с помощью критерия Гурвица. Что такое принятие решения в условиях противодействия? Что такое матричная игра? Что такое платежи матричной игры? Что такое матрица платежей? Что такое матричная игра с нулевой суммой? Что такое матричная игра с ненулевой суммой? Что такое седловая точка? Что такое чистая стратегия? Что такое смешанная стратегия? Найти седловую точку матрицы. Решить матричную игру в чистых стратегиях. Найти множество Парето для задачи двукритериального выбора. Решить задачу многокритериального выбора методом линейной аддитивной свертки. Решить задачу многокритериального выбора методом мультипликативной свертки. Решить задачу многокритериального выбора методом максиминной свертки. Решить задачу про групповую экспертную оценку. Решить задачу экспертной оценки объектов с учетом компетентности экспертов. Контрольные вопросы к экзамену по дисциплине 1. Исследование операций как наука о принятии оптимальных решений. Общий обзор, основные понятия, классы задач. Принятие решения: постановка задачи, решить матричную игру графическим способом случаи. Принятие решений в условиях риска. Принятие решений в условиях риска. Принятие решений в условиях риска. Принятие решений в условиях риска. Принятие решений в условиях неопределенности. Принятие решений в условиях неопределенности. Принятие решений в условиях неопределенности. Принятие решений в условиях неопределенности. Принятие решений в условиях неопределенности. Принятие решений в условиях противодействия. Чистые стратегии, седловая точка, цена игры. Представление матричной игры в виде задачи линейного программирования. Графический метод решения матричной игры. Принятие решений в условиях нескольких критериев выбора многокритериальный выбор. Решить матричную игру графическим способом и лексикографическая свёртки. Описание выбора на языке бинарных отношений. Матрицы смежности инцидентности. Контрольные экзаменационные вопросы используются в случае сдачи студентом экзамена по дисциплине на повышенную оценку в сравнении с оценкой, которую он получил по рейтингу полусеместра. В соответствии с действующим "Положением о кредитно-модульной системе организации учебного процесса и рейтинговом оценивании знаний студентов ЗГИА" оценка, которая получена на экзамене решить матричную игру графическим способом окончательной именно она вносится в экзаменационную ведомость индивидуальный план зачетную книжку студента. Основная литература имеется в наличии в библиотеке ЗГИА 1. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. Теория и практика принятия решений. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. Теория и практика принятия управленческих решений: Учеб. Кооперативное принятие решений: Аксиомы и модели. Введение в исследование операций, 7-е решить матричную игру графическим способом Пер. Теория выбора и принятия решений Учеб. О построении решающих правил в задачах принятия решений. Введение в экспертные системы: Пер. Матричные игры и графы. Наука искусство принятия решений. Теория и методы принятия решить матричную игру графическим способом, а также Хроника событий в Волшебных странах: Учебник. Введение в прикладное дискретное программирование: модели и вычислительные алгоритмы: Учеб. Теория игр и экономическое поведение. Плохо Средне Хорошо Отлично Комментарии: Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Да, в любом случае. Да, но только в случае крайней необходимости. Возможно, в зависимости от цены. Нет, напишу его сам.

Похожие документы
Карта сайта
Образец прайс листа на товар
Модели организации налогового учета статья
Можно ли беременным кальция глюконат

Комментарии